题目内容
【题目】如图:在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了),连接EF.
(1)求证:四边形ABEF为菱形;
(2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的长.
【答案】
(1)证明:由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF,∠BAE=∠FAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠FAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=FA,
∴四边形ABEF为平行四边形,
∵AB=AF,
∴四边形ABEF为菱形;
(2)解:∵四边形ABEF为菱形,
∴AE⊥BF,BO= FB=3,AE=2AO,
在Rt△AOB中,AO= =4,
∴AE=2AO=8.
【解析】(1)由尺规作图和已知先证出BE=FA,再由一组对边平行且相等的四边形可得四边形ABEF为平行四边形,又AB=AF可得证;
(2)由菱形的性质易求出BO=3和∠AOB=90°,在Rt△AOB中可求出AO的值,再由菱形的性质可求出AE的长.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识,掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分.

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