题目内容
(2013•烟台)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(-
,0),以0C为直径作半圆,圆心为D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:直线BE是⊙D的切线;
(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
2 | 3 |
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:直线BE是⊙D的切线;
(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据题意易得点A、B的坐标,然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式,列出关于a、b、c的方程组,利用三元一次方程组来求得系数的值;
(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G,构建相似三角形△EGD∽△ECB,根据它的对应边成比例得到
=
,由此求得DG=1(圆的半径是1),则易证得结论;
(3)利用待定系数法求得直线BE为:y=
x+
.则易求P(1,
).然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例,线段间的和差关系得到CN=
t,DN=
t-1.所以
S=S△PND+S梯形PDCM-S△MNC=-
t2+
t(0<t<2).由抛物线的性质可以求得S的最值.
(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G,构建相似三角形△EGD∽△ECB,根据它的对应边成比例得到
DG |
BC |
DE |
BE |
(3)利用待定系数法求得直线BE为:y=
3 |
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1 |
2 |
5 |
4 |
4 |
3 |
4 |
3 |
S=S△PND+S梯形PDCM-S△MNC=-
2 |
3 |
4 |
3 |
解答:解:(1)由题意,得A(0,2),B(2,2),E的坐标为(-
,0),
则
,
解得,
,
∴该二次函数的解析式为:y=-
x2+
x+2;
(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G.
由题意,得
ED=
+1=
,EC=2+
=
,BC=2,
∴BE=
=
.
∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°,
∴△EGD∽△ECB,
∴
=
,
∴DG=1.
∵⊙D的半径是1,且DG⊥BE,
∴BE是⊙D的切线;
(3)由题意,得E(-
,0),B(2,2).
设直线BE为y=kx+h(k≠0).则
,
解得,
,
∴直线BE为:y=
x+
.
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P,对称轴直线为x=1,
∴点P的纵坐标y=
,即P(1,
).
∵MN∥BE,
∴∠MNC=∠BEC.
∵∠C=∠C=90°,
∴△MNC∽△BEC,
∴
=
,
∴
=
,则CN=
t,
∴DN=
t-1,
∴S△PND=
DN•PD=
(
t-1)•
=
t-
.
S△MNC=
CN•CM=
×
t•t=
t2.
S梯形PDCM=
(PD+CM)•CD=
•(
+t)•1=
+
t.
∵S=S△PND+S梯形PDCM-S△MNC=-
t2+
t(0<t<2).
∵抛物线S=-
t2+
t(0<t<2)的开口方向向下,
∴S存在最大值.当t=1时,S最大=
.
2 |
3 |
则
|
解得,
|
∴该二次函数的解析式为:y=-
9 |
8 |
9 |
4 |
(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G.
由题意,得
ED=
2 |
3 |
5 |
3 |
2 |
3 |
8 |
3 |
∴BE=
|
10 |
3 |
∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°,
∴△EGD∽△ECB,
∴
DG |
BC |
DE |
BE |
∴DG=1.
∵⊙D的半径是1,且DG⊥BE,
∴BE是⊙D的切线;
(3)由题意,得E(-
2 |
3 |
设直线BE为y=kx+h(k≠0).则
|
解得,
|
∴直线BE为:y=
3 |
4 |
1 |
2 |
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P,对称轴直线为x=1,
∴点P的纵坐标y=
5 |
4 |
5 |
4 |
∵MN∥BE,
∴∠MNC=∠BEC.
∵∠C=∠C=90°,
∴△MNC∽△BEC,
∴
CN |
EC |
MC |
BC |
∴
CN | ||
|
t |
2 |
4 |
3 |
∴DN=
4 |
3 |
∴S△PND=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
5 |
4 |
5 |
6 |
5 |
8 |
S△MNC=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
2 |
3 |
S梯形PDCM=
1 |
2 |
1 |
2 |
5 |
4 |
5 |
8 |
1 |
2 |
∵S=S△PND+S梯形PDCM-S△MNC=-
2 |
3 |
4 |
3 |
∵抛物线S=-
2 |
3 |
4 |
3 |
∴S存在最大值.当t=1时,S最大=
2 |
3 |
点评:本题考查了二次函数综合题,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式,相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法.注意配方法在(3)题中的应用.
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