题目内容
（2013•烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为 |
| AD |
（1）求证：CB=CF；
（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=
| 3 |
| 5 |
分析：（1）如图1，通过相似三角形（△AEF∽△AEB）的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；
（2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO=
=
，则以求r的值．
（2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO=
| r-1 |
| r |
| 3 |
| 5 |
解答：
（1）证明：如图1，
∵AE2=EF•EB，
∴
=
．
又∠AEF=∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1=∠EAB．
∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，
∴∠2=∠3，
∴CB=CF；
（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．
由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．
∴
=
．
∴OE⊥AD，
∴EG=1．
∵cos∠C=
，且∠C+∠GAO=90°，
∴sin∠GAO=
，
∴
=
，即
=
，
解得，r=
，即⊙O的半径是
．
（1）证明：如图1，∵AE2=EF•EB，
∴
| AE |
| EB |
| EF |
| AE |
又∠AEF=∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1=∠EAB．
∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，
∴∠2=∠3，
∴CB=CF；
（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．
由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．
∴
|
| AE |
|
| ED |
∴OE⊥AD，
∴EG=1．
∵cos∠C=
| 3 |
| 5 |
∴sin∠GAO=
| 3 |
| 5 |
∴
| OG |
| OA |
| 3 |
| 5 |
| r-1 |
| r |
| 3 |
| 5 |
解得，r=
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质．解答（2）题的难点是推知点E是弧AD的中点．
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