题目内容
【题目】如图，
中，
，
，
，点
为射线
上的动点，以
为边，在
的同侧作菱形
，使得
．若菱形的边
经过线段
的中点
．
（1）将菱形沿射线向右平移，记平移中的菱形菱形
，当点
与点
重合时停止平移．设平移的距离为
，是否存在这样的，使△BDE是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）在（1）问的平移过程中，设菱形与重叠部分的面积为
，请直接写出与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．
【答案】（1）存在；当
，
或
时，△BDE是等腰三角形；（2）S与t的关系式为：
；
【解析】
（1）根据题意，由菱形的性质，解直角三角形求出OG，CF的长度，以及求出所需的线段长度，由△BDE是等腰三角形，可分为三种情况：①当DE=EB时；②当BD=BE时；③当BD=DE时；分别求出t的值，即可得到答案；
（2）根据菱形的运动情况，可分为三种情况：①当
时；②当
时；③当
时；分别讨论出重合的面积的计算方法，然后求出S与t的关系式，即可得到答案.
解：
中，
，
，
，
∴由勾股定理，得
，
∵点O是AB的中点，则BO=AO=20，
如图，过F作FH⊥BC，OG⊥BC，则四边形HGOF是矩形，
∴FH=OG，FO=HG，
∵点O是AB的中点，OG∥AC，
∴OG=
，CG=BG=16，
在Rt△CHF中，有
，
∴CH=9，
∴
，
∴HG=OF=16-9=7，
∴OE=15-7=8；
当点F与点O重合时，向右平移了7个单位，即t=7；
∴
，
，
，
∵
，
∴
，即
；
要使△BDE是等腰三角形，则可分为以下几种情况：
①当DE=EB时，如图：作EI⊥BC于点I，
∵DE=15，EI=12，由勾股定理得：
，
∴BD=18，
∴
（不符合题意，舍去）；
②当BD=BE时，如图：
∵DE⊥AB，
∴DJ=EJ=
，
∵
,
∴
，
∴
，
∴
；
③当BD=DE=15时，△BDE是等腰三角形，
则
；
当点
与点B重合时，BD=DE=15，
此时；
∴当，或时，△BDE是等腰三角形；
（2）根据题意，
∵
，
；
平移过程中可分成三种情况：
①当时，如图：
∴OE=8+t，
∴
，
，
∴重合部分的面积为：
；
②当时，如图：
∴
，
，
∴
，
,
，
,
∴
，
∴
；
③当时，如图：
此时重合部分的面积为三角形，
∴，
∴
，
，
∴
；
综合上述可知，S与t的关系式为：；
【题目】参照学习函数的过程与方法，探究函数
的图象与性质列表：
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描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）请补全函数图象：
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当
时，y随x的增大而_________；（填“增大”或“减小”）
②图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
③当
时，
的最小值是_________．
（3）结合函数图象，当
时，求x的取值范围．
【题目】为调动学生学习积极性，某中学初一（1）班对学生的学习表现实行每学月评分制，现对初一上期1—5学月的评分情况进行了统计，其中学生小明5次得分情况如下表所示：
时间 | 第1学月 | 第2学月 | 第3学月 | 第4学月 | 第5学月 |
得分 | 8分 | 9分 | 9分 | 9分 | 10分 |
学生小刚的得分情况制成了如下不完整的折线统计图：
（1）若小刚和小明这5次得分的平均成绩相等，求出小刚第3学月的得分，并补全折线统计图；
（2）据统计，小明和小刚这5学月的总成绩都排在了班级的前4名，现准备从该班的前四名中任选两名同学参加学校的表彰大会，请用列表或画树状图的方法，求选取的两名同学恰好是小明和小刚两人的概率．
【题目】某班“数学兴趣小组”对函数
的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）函数的自变量
的取值范围是_________．
（2）下表是
与的几组对应值．
| … |
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| 0 |
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| 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| … |
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| … |
则表格中的
__________．
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；试写出该函数的一条性质________________________________________________________．
（4）①当直线
与函数
的图象有唯一交点时，
的值为___________；
②若直线与函数无交点，则的取值范围为_____________．