Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，AE=AD．连接DE、AC交于F，连接BF．则有下列4个结论：
①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EF：BE=（

6

+

2

）：2；④S_△ECD：S_△ECF=EC：EF．
其中正确的结论是（　　）

A．①②

B．①②④

C．③④

D．①②③④

Answer 1

分析：先证明△AED与△ABC是等腰直角三角形，再根据SAS即可证明△ACD≌△ACE，从而判断①；
由①得出CD=CE，再证明∠DEC=60°，即可判断②；
设EF=x，先解直角△ECF，得出CF=

3

x，则AC=（1+

3

）x，再由△ABC是等腰直角三角形，求出AB，从而可用含x的代数式表示BE，即可判断③；
由于△ECD与△ECF同高，所以面积之比等于底之比，再根据②可知EC=ED，从而判断④．

解答：解：①∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC，
又AD=AE，AC=AC，
∴△ACD≌△ACE；故①正确；
②同理∠AED=45°，
∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠DEC=60°，
∵ACD≌△ACE，
∴CD=CE，
∴△CDE为等边三角形．故②正确；
③∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，
∴∠EAF=∠ADF=45°，AD=AE，
∴AF=EF=DF，AF⊥DE．
设AF=EF=DF=x，
∴AE=

2

x，CE=2x，
∴CF=

3

x，
∴AC=（1+

3

）x，
∵AB=BC，
∴AB²+BC²=[（1+

3

）x]²，
解得：AB=

2 + 6

2

x，
BE=AB-AE=

6 - 2

2

x，
∴EF：BE=x：

6 - 2

2

x=（

6

+

2

）：2．故③正确；
④∵S_△ECD：S_△ECF=（

1

2

×ED×CF）：（

1

2

×EF×CF）=ED：EF，
又∵△CDE为等边三角形，EC=ED，
∴S_△ECD：S_△ECF=EC：EF．故④正确．
故选D．

点评：本题综合考查直角梯形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，综合性较强，难度中等．