Question

【题目】在平面直角坐标系xOy，对于点P（xp，yp）和图形G，设Q（xQ，yQ）是图形G上任意一点，|xp﹣xQ|的最小值叫点P和图形G的“水平距离”，|yp﹣yQ|的最小值叫点P和图形G的“竖直距离”，点P和图形G的“水平距离”与“竖直距离”的最大值叫做点P和图形G的“绝对距离”

例如：点P（﹣2，3）和半径为1的⊙O，因为⊙O上任一点Q（xQ，yQ）满足﹣1≤xQ≤1，﹣1≤yQ≤1，点P和⊙O的“水平距离”为|﹣2﹣xQ|的最小值，即|﹣2﹣（﹣1）|=1，点P和⊙O的“竖直距离”为|3﹣yQ|的最小值即|3﹣1|=2，因为2＞1，所以点P和⊙O的“绝对距离”为2．

已知⊙O半径为1，A（2，），B（4，1），C（4，3）

（1）①直接写出点A和⊙O的“绝对距离”

②已知D是△ABC边上一个动点，当点D与⊙O的“绝对距离”为2时，写出一个满足条件的点D的坐标；

（2）已知E是△ABC边一个动点，直接写出点E与⊙O的“绝对距离”的最小值及相应的点E的坐标

（3）已知P是⊙O上一个动点，△ABC沿直线AB平移过程中，直接写出点P与△ABC的“绝对距离”的最小值及相应的点P和点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①1.5；②D的坐标为（3，）或（3，）；（2）E坐标为（，）；（3）C（，），P（，）．点P与△ABC的“绝对距离”的最小值为．

【解析】

（1）①点A和⊙O的“绝对距离”的定义求出点A和⊙O的“竖直距离”与“水平距离”即可解决问题．
②当点D与⊙O的“绝对距离”为2时，点D的横坐标为3，求出直线AB，AC的解析式即可解决问题．
（2）由题意可知满足条件的点E在直线y=x与直线AB的交点处．构建方程组即可解决问题．
（3）如图3中，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线交于点F，当点F在直线y=x上时，点P与△ABC的“绝对距离”的有最小值，此时点P即为直线y=x与⊙O的交点（如图所示）．设F（m，m）则B（m+2，m），利用待定系数法求出点F的坐标即可解决问题．

（1）如图1中，

①∵点A和⊙O的“水平距离”是1，点A和⊙O的“竖直距离”是1．5，

又∵1．5＞1，∴点A和⊙O的“绝对距离”是1．5．

②当点D与⊙O的“绝对距离”为2时，点D的横坐标为3．

∵A（2，），B（4，1），C（4，3），

∴直线AB速度解析式为yx+4，直线AC的解析式为yx+2，

∴D（3，），D'（3，），

综上所述：满足条件的点D的坐标为（3，）或（3，）．

（2）如图2中，

由题意可知满足条件的点E在直线y=x与直线AB的交点处．

由，解得，

∴满足条件的点E坐标为（，）．

（3）如图3中，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线交于点F，当点F在直线y=x上时，点P与△ABC的“绝对距离”的有最小值，此时点P即为直线y=x与⊙O的交点（如图所示）．

设F（m，m）则B（m+2，m）．

∵点B在直线yx+4上，

∴m（m+2）+4，

解得：m，

∴F（，），B（，）．

∵BC∥y轴，BC=2，

∴C（，），此时P（，）．

∴点P与△ABC的“绝对距离”的最小值为．