Question

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°。
∴∠BMC=90°。
（2）解：存在，理由如下：
若∠BMC=90°，则∠AMB=∠DMC=90°。
又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC。
又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC。∴。
设AM=x，则，整理得：x²﹣bx+a²=0。
∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b²﹣4a²＞0。
∴方程有两个不相等的实数根。
又∵两根之积等于a²＞0，∴两根同号。
又∵两根之和等于b ＞0，∴两根为正。符合题意。
∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°。
（3）解：不成立．理由如下：
若∠BMC=90°，由（2）可知x²﹣bx+a²=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b²﹣4a²＜0，∴方程没有实数根。
∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立。

（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°。
（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即
可得方程：x2-bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，结合根与系数的关系可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意。
（3）用反证法，由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案。