题目内容

【题目】阅读与理解

折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在△ABC中,AB>AC(如图),怎样证明∠C>B呢?

AC沿∠A的角平分线AD翻折,因为AB>AC,所以点C落在AB上的点处,即,据以上操作,易证明,所以,又因为>B,所以∠C>B.

感悟与应用

(1)如图(a),在△ABC中,∠ACB=90°,B=30°,CD平分∠ACB,试判断ACAD、BC之间的数量关系,并说明理由;

(2)如图(b),在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,AC=16,AD=8,DC=BC=12,

求证:∠B+D=180°;

AB的长.

【答案】(1)BC-AC=AD;(2)①见解析;②14;

【解析】

1)在CB上截取CE=CA,连接DE.可证△ACD≌△ECD,得到DE=AD,∠A=CED=60°,进一步得到∠CED=2CBA,由外角的性质得到∠CBA=BDE,由等角对等边得到DE=BE,即可得到结论

(2)①在AB上截取AE=AD,连接EC.易证△CDA≌△CEA,从而得到∠CEA=∠DCE=CD.由等量代换得到BC=CE,由等边对等角得到∠B=∠CEB.再由邻补角的性质即可得到结论;

②过CCFABF.设FB=xCF=h.由等腰三角形三线合一得到FE=BF=x.在RtBFCRtFCA中,分别利用勾股定理列方程,求解即可.

1BC-AC=AD.理由如下:

如图,在CB上截取CE=CA,连接DE

CD平分∠ACB,同理可证△ACD≌△ECD,∴DE=AD,∠A=CED=60°

∵∠ACB=90°,∴∠CBA=30°,∴∠CED=2CBA

∵∠CED=CBA+BDE,∴∠CBA=BDE,∴DE=BE,∴AD=BE

BE=BC-CE=BC-AC,∴BC-AC=AD

(2)①在AB上截取AE=AD,连接EC

AC平分∠DAB,∴∠EAC=∠DAC.在△CDA和△CEA中,∵EA=DA,∠EAC=∠DACAC=AC,∴△CEA≌△CDA,∴∠CEA=∠DCE=CD

DC=BC,∴BC=CE,∴∠B=∠CEB

∵∠CEA+∠CEB=180°,∴∠B+∠D=180°;

②过CCFABF.设FB=xCF=h

CB=CECFBE,∴FE=BF=x.在RtBFC中,∵BF2+CF2=BC2,∴①;在RtFCA中,②;解方程组①②得:x=3.∴AB=BF+FE+EA=2×3+8=14

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