题目内容
【题目】阅读与理解:
折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在△ABC中,AB>AC(如图),怎样证明∠C>∠B呢?
把AC沿∠A的角平分线AD翻折,因为AB>AC,所以点C落在AB上的点处,即
,据以上操作,易证明
≌
,所以
,又因为
>∠B,所以∠C>∠B.
感悟与应用:
(1)如图(a),在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD平分∠ACB,试判断AC和AD、BC之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图(b),在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,AC=16,AD=8,DC=BC=12,
① 求证:∠B+∠D=180°;
② 求AB的长.
【答案】(1)BC-AC=AD;(2)①见解析;②14;
【解析】
(1)在CB上截取CE=CA,连接DE.可证△ACD≌△ECD,得到DE=AD,∠A=∠CED=60°,进一步得到∠CED=2∠CBA,由外角的性质得到∠CBA=∠BDE,由等角对等边得到DE=BE,即可得到结论.
(2)①在AB上截取AE=AD,连接EC.易证△CDA≌△CEA,从而得到∠CEA=∠D,CE=CD.由等量代换得到BC=CE,由等边对等角得到∠B=∠CEB.再由邻补角的性质即可得到结论;
②过C作CF⊥AB于F.设FB=x,CF=h.由等腰三角形三线合一得到FE=BF=x.在Rt△BFC和Rt△FCA中,分别利用勾股定理列方程,求解即可.
(1)BC-AC=AD.理由如下:
如图,在CB上截取CE=CA,连接DE.
∵CD平分∠ACB,同理可证△ACD≌△ECD,∴DE=AD,∠A=∠CED=60°.
∵∠ACB=90°,∴∠CBA=30°,∴∠CED=2∠CBA.
∵∠CED=∠CBA+∠BDE,∴∠CBA=∠BDE,∴DE=BE,∴AD=BE.
∵BE=BC-CE=BC-AC,∴BC-AC=AD.
(2)①在AB上截取AE=AD,连接EC.
∵AC平分∠DAB,∴∠EAC=∠DAC.在△CDA和△CEA中,∵EA=DA,∠EAC=∠DAC,AC=AC,∴△CEA≌△CDA,∴∠CEA=∠D,CE=CD.
∵DC=BC,∴BC=CE,∴∠B=∠CEB.
∵∠CEA+∠CEB=180°,∴∠B+∠D=180°;
②过C作CF⊥AB于F.设FB=x,CF=h.
∵CB=CE,CF⊥BE,∴FE=BF=x.在Rt△BFC中,∵BF2+CF2=BC2,∴①;在Rt△FCA中,
②;解方程组①②得:x=3.∴AB=BF+FE+EA=2×3+8=14.

【题目】某县为了了解初中生对安全知识掌握情况,抽取了50名初中生进行安全知识测试,并将测试成绩进行统计分析,绘制成了频数分布表和频数分布直方图(未完成). 安全知识测试成绩频数分布表
组别 | 成绩x(分数) | 组中值 | 频数(人数) |
1 | 90≤x<100 | 95 | 10 |
2 | 80≤x<90 | 85 | 25 |
3 | 70≤x<80 | 75 | 12 |
4 | 60≤x<70 | 65 | 3 |
(1)完成频数分布直方图;
(2)这个样本数据的中位数在第组;
(3)若将各组的组中值视为该组的平均成绩,则此次测试的平均成绩为;
(4)若将90分以上(含90分)定为“优秀”等级,则该县10000名初中生中,获“优秀”等级的学生约为人.