题目内容
【题目】已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(0,4)、E(0,-2)两点,与y轴交于点B(2,0),连结AB。过点A作直线AK⊥AB,动点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿射线AK运动,设运动时间为t秒,过点P作PC⊥x轴,垂足为C,把△ACP沿AP对折,使点C落在点D处。
(1)、求抛物线的解析式;
(2)、当点D在△ABP的内部时,△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并直接写出t的取值范围;
(3)、是否存在这样的时刻,使动点D到点O的距离最小,若存在请求出这个最小距离,若不存在说明理由.
【答案】(1)、y=-;(2)、S=-
+5t(0<t<4);(3)、
.
【解析】
试题分析:(1)、利用待定系数法求出函数解析式;(2)、根据AP=t和ΔAOB∽ΔPCA 可求得AC=t,PC=2t,然后根据面积法求出S和t的函数关系式;(3)、连结CD,交AP于点G,过点作D H⊥x轴,垂足为H,得出△ACG和△DCH和△BAO相似,然后求出DC、DH、HC和OH的长度,从而得到点D的坐标和值AD的解析式,得到点E的坐标,得出AE的长度,此时点Rt△EAO斜边上的高即为OD的最小距离,利用面积法求出最小值.
试题解析:(1)、抛物线的解析式为y=-
(2)、由AP=t和ΔAOB∽ΔPCA 可求得AC=t, PC=2t
S=SΔABP-SΔADP=×2
×
t-
×2t×t=-
+5t ,t的取值范围是0<t<4
(3)、连结CD,交AP于点G,过点作D H⊥x轴,垂足为H
易证△ACG∽△DCH∽△BAO且OB:OA:AB=1:2:
因为∠DAP=∠CAP,点D始终在过点A的一条定直线上运动,设这条定直线与y轴交于点E
当AC=t=1时,DC=2CG=2×=
∴DH=,HC=
∴OH=5-
=
∴点D的坐标为(,
) 可求出直线AD的解析式为y=-
x+
,点E的坐标为(0,
)
可求得AE= 此时点Rt△EAO斜边上的高即为OD的最小距离,为
×
÷
=
