Question

【题目】已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（0，4）、E（0，－2）两点，与y轴交于点B（2，0），连结AB。过点A作直线AK⊥AB，动点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处。

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；

(3)、是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小，若存在请求出这个最小距离，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=－；(2)、S=－+5t(0＜t＜4)；(3)、.

【解析】

试题分析：(1)、利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据AP=t和ΔAOB∽ΔPCA 可求得AC=t，PC=2t，然后根据面积法求出S和t的函数关系式；(3)、连结CD，交AP于点G，过点作D H⊥x轴，垂足为H，得出△ACG和△DCH和△BAO相似，然后求出DC、DH、HC和OH的长度，从而得到点D的坐标和值AD的解析式，得到点E的坐标，得出AE的长度，此时点Rt△EAO斜边上的高即为OD的最小距离，利用面积法求出最小值.

试题解析：(1)、抛物线的解析式为y=－

(2)、由AP=t和ΔAOB∽ΔPCA 可求得AC=t， PC=2t

S=SΔABP-SΔADP=×2×t-×2t×t=-+5t ，t的取值范围是0＜t＜4

(3)、连结CD，交AP于点G，过点作D H⊥x轴，垂足为H

易证△ACG∽△DCH∽△BAO且OB：OA：AB＝1：2：

因为∠DAP＝∠CAP，点D始终在过点A的一条定直线上运动，设这条定直线与y轴交于点E

当AC＝t＝1时，DC＝2CG＝2×＝

∴DH＝，HC＝ ∴OH＝5－＝

∴点D的坐标为（，） 可求出直线AD的解析式为y=-x+，点E的坐标为（0，）

可求得AE＝ 此时点Rt△EAO斜边上的高即为OD的最小距离，为×÷＝