Question

【知识探究】
如图1，已知AD∥BC，AD=BC，点M、N是直线CD上任意两点，则直线AB与直线CD的位置关系为

 

，S_△ABM

 

S_△ABN（填“＞”、“=”或“＜”）；
【结论应用】
如图2，线段AB的端点A、B分别在反比例函数y=

k

x

位于一、三象限的分支上，AB交y轴与点E，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过C点作直线MN∥AB与反比例图象交于M、N两点，且与y轴交于点D，连接BC、BD，若S_△ABC=5，S_△BDE=3，求k的值；
【拓展延伸】
如图3，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交与点D．在第一象限的抛物线（0＜x＜3）上是否存在一点M，使△AMD面积最大？若存在，求出M点坐标和△AMD最大面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：【知识探究】：根据题意判定四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD．所以△ABM和△ABN中，AB边上的高相等，则两个三角形是同底等高的三角形，所以它们的面积相等；
【结论应用】：利用“同底等高的两个三角形的面积相等”推知S_△BCE=S_△BDE=3，则S_△ACE=S_△ABC-S_△BCE=5-3=2，最后由反比例函数系数k的几何意义求得S△ACE=S△AOC=

1

2

k=2，即k=4；
【拓展延伸】设抛物线为y=a（x-1）²+4，把A（3，0）代入得a=-1，则y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．所以D（0，3）．根据点A、D的坐标求得直线AD为y=-x+3．故设过M点且与直线AD平行的直线EF为y=-x+t，交x、y轴分别交于点E、F，根据抛物线与直线的交点坐标的求法可以求得t=

21

4

，所以M(

3

2

，

15

4

)，
过D作DG⊥EF于G，根据等腰直角三角形的性质求得DG=

2

2

DF=

2

2

×

9

4

=

9 2

8

．则S_{△AMD最大值}=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

．

解答：解：【知识探究】如图1，∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
∴AB∥CD；
∴S_△ABM=S_△ABN（同底等高的两个三角形的面积相等）．
故答案是：AB∥CD；S_△ABM=S_△ABN；

【结论应用】如图2，连接CE、AO．
∵AB∥MN，
∴S_△BCE=S_△BDE=3，
∵S_△ACE=S_△ABC-S_△BCE=5-3=2，AC⊥x轴，
∴S△ACE=S△AOC=

1

2

k=2，
∴k=4；

【拓展延伸】设抛物线为y=a（x-1）²+4，把A（3，0）代入得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3，
∴D（0，3），
∴易求直线AD为y=-x+3．
设过M点且与直线AD平行的直线EF为y=-x+t，交x、y轴分别交于点E、F．
则由

y=-x+t y=-x2+2x+3

得x²-3x+t-3=0，
把点D的坐标代入，得
（-3）²-4（t-3）=0，
解得t=

21

4

，M(

3

2

，

15

4

)，
∴AM=

( 3 2 -3)2+( 15 4 )2

=3

2

．
如图3，过D作DG⊥EF于G，DG=

2

2

DF=

2

2

×

9

4

=

9 2

8

∴S_{△AMD最大值}=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

．

点评：此题主要考查了平行线的性质、三角形面积的求法、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法等知识；能力要求高，难度较大．