题目内容

【题目】已知点E在△ABC内,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.

(1)当α=60°时(如图1),

①判断△ABC的形状,并说明理由;

②求证:BD=AE;

(2)当α=90°时(如图2),求的值.

【答案】(1) ①等边三角形;理由见解析; 证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形;②由△EBD也是等边三角形,连接DC,证得△ABE≌△CBD,在直角三角形中很容易证得结论.

(2)连接DC,证得△ABC∽△EBD,设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值.

试题解析:(1)①判断:△ABC是等边三角形.

理由:∵∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等边三角形

②证明:同理△EBD也是等边三角形

连接DC,

则AB=BC,BE=BD,∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD

∴△ABE≌△CBD

∴AE=CD,∠AEB=∠CDB=150°

∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°

在Rt△EDC中

,即BD=AE

(2)连接DC,

∵∠ABC=∠EBD=90°,∠ACB=∠EDB=60°

∴△ABC∽△EBD

,即

又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD

∴△ABE∽△CBD,∠AEB=∠CDB=150°,

∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-(90°-∠BDE)=60°

设BD=x在Rt△EBD中DE=2x,BE=

在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2

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