Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣4，0），B（0，4）代入y=ax2+2xa+c得 ，解得 ，

所以抛物线解析式为y=﹣ x2﹣x+4；

（2）

解：如图1，

分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，

由直线DE的解析式为：y=x+5，则E（0，5），

∴OE=5，

∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，

∴∠EPA′=∠OEF，

∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，

∴△PEA′≌△EFB′，

∴PA′=EB′=﹣t，

则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+；

（3）

解：如图2，

由直线DE的解析式为：y=x+5，

∵EH⊥ED，

∴直线EH的解析式为：y=﹣x+5，

∴FB′=A′E=5﹣（﹣ t2﹣t+4）= t2+t+1，

∴F（ t2+t+1，5+t），

∴点H的横坐标为： t2+t+1，

y=﹣ t2﹣t﹣1+5=﹣ t2﹣t+4，

∴H（ t2+t+1，﹣ t2﹣t+4），

∵G是DH的中点，

∴G（ ， ），

∴G（ t2+ t﹣2，﹣ t2﹣ t+2），

∴PH∥x轴，

∵DG=GH，

∴PG=GQ，

∴ = t2+ t﹣2，

t= ，

∵P在第二象限，

∴t＜0，

∴t=﹣ ，

∴F（4﹣ ，5﹣ ）．

【解析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，考查了直角三角形全等的性质和判定；本题的关键是根据直角三角形全等对应边相等列式得出d与t的函数关系式；同时要注意：若A、B两点的坐标分别为（x1、y1）、（x2、y2），则线段AB中点的坐标为（ ， ）．（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）如图1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边PE=EF和两角相等证两直角三角形全等，得PA′=EB′，则d=FM=OE﹣EB′代入列式可得结论，但要注意PA′=﹣t；（3）如图2，根据直线EH的解析式表示出点F的坐标和H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等，则PH与x轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得G也是PQ的中点，由此表示出点G的坐标并列式，求出t的值并取舍，计算出点F的坐标．
【考点精析】掌握确定一次函数的表达式是解答本题的根本，需要知道确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．