Question

（2012•怀柔区一模）已知：关于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）a取何整数值时，关于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整数；
（2）若抛物线y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的对称轴为x=-1，顶点为M，当k为何值时，一次函数y=

1

3

kx+k的图象必过点M．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，原方程是一元一次方程，可求出方程的解为1，方程的根是整数，当a≠1，原方程为一元二次方程，首先求出根的判别式△，然后求出方程的两根，根据方程的根是整数求出a的值，
（2）首先根据抛物线y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的对称轴为x=-1，求出a的值，然后求出顶点M的坐标，代入解析式求出k的值．

解答：解：（1）当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0．方程的解为 x=1；
当a-1≠0时，原方程为一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）•2=（a-3）²≥0
x=

(a-1)±(a-3)

2(a-1)

，
解得x1=1，x2=

2

a-1

．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整数．
∴只需

2

a-1

为整数
∴当a-1=±1时，即a=2或a=0时，x=1或x=-2；
当a-1=±2时，即a=3或a=-1时，x=1或x=-1；
∴a取0，-1，1，2，3时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整数．

（2）∵抛物线y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的对称轴为x=-1，
∴-

b

2a

=-1，
∴a=

1

3

．
∴顶点坐标为M（-1，

8

3

）．
把M点坐标代入一次函数y=

1

3

kx+k中，则k=4．
故当k=4时，一次函数y=

1

3

kx+k的图象必过点M．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象性质以及对称轴的特点，此题难度不大．