Question

如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
（3）BE+BF=

2

0A；
（4）AE²+CF²=20P•OB．
正确的结论有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分，且平分每一组对角．

解答：解：（1）错误．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
（2）正确．∵△AOE≌△BOF，∴四边形BEOF的面积=△ABO的面积=

1

4

正方形ABCD的面积；
（3）正确．BE+BF=AB=

2

OA；
（4）正确．
AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=（

2

OF）²=2OF²，
在△OPF与△OFB中，
∠OBF=∠OFP=45°，
∠POF=∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
OP：OF=OF：OB，
OF²=OP•OB，
AE²+CF²=20P•OB．
另法：AE²+CF²=BF²+BE²=EF²=（PF+PE）²=PE²+PF²+2PE•PF．
作OM⊥EF，M为垂足．
∵OE=OF，
∴OM=ME=MF．
PE²+PF²=（ME-MP）²+（MF+MP）²=2（MO²+MP²）=2OP²．
∵O、E、B、F四点共圆，
∴PE•PF=OP•PB，
∴AE²+CF²=2OP²+2OP•PB=2OP（OP+PB）=2OP•OB．
故选C．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等．