Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm.点P、Q是BC边上两个动点(点Q在点P右边)，PQ＝2cm，点P从点C出发，沿CB向右运动，运动时间为t秒.5s后点Q到达点B，点P、Q停止运动，过点Q作QD⊥BC交AB于点D，连接AP，设△ACP与△BQD的面积和为S(cm)，S与t的函数图像如图2所示.

(1)图1中BC＝ cm，点P运动的速度为 cm/s；

(2)t为何值时，面积和S最小，并求出最小值；

(3)连接PD，以点P为圆心线段PD的长为半径作⊙P，当⊙P与的边相切时，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）12 , 2；（2）当t＝2时，面积和S最小，最小为21cm2. （3）当t＝1或时⊙P与△ABC的边相切

【解析】

（1）根据题意知，点Q与点B重合时，△ACP的面积为30，依据三角形面积公式可得PC的长为10，由PQ=2得BC的长为12，根据“速度=路程÷时间”可求出点P的速度；

（2）分别求出PC＝2t，BQ＝10－2t，DQ＝5－t，利用三角形面积公式得到二次函数关系式，进行配方即可求出最值；

（3）分⊙P与AB边和AC边相切两种情况进行分类讨论求解即可.

(1)当点Q与点B重合时，△ACP的面积=30，

∴

∵AC=6cm，

∴PC=10cm，

∴BC=PC+PQ=10+2=12cm，

∴点P的速度为：10÷5=2（cm/s）；

(2)由题可知PC＝2t，BQ＝12-2－2t=10-2t，

∵DQ⊥BC,AC⊥BC，

∴DQ∥AC，

∴△DQB∽△ACB，

∴，即

∴DQ＝5－t

∴S＝＝

∴当t＝2时，面积和S最小，最小为21cm2.

(3)⊙P与BC边不可能相切

i) ⊙P与AB边相切时△PQD∽△ACB，

∴，

∴t＝1

ii)⊙P与AC边相切时

在Rt△PQD中，，

∴

∴t＝或t＝(舍去)，

综上当t＝1或时⊙P与△ABC的边相切.