Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A，B，C三点的坐标．

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；（2）．（3）F（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【解析】

试题分析：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．

（2）设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长=﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2﹣8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积，

（3）先确定出点D坐标，进而得出FG由FG=4建立方程求解即可．

试题解析：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知点C（0，3），

令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，

解得x=﹣3或x=1，

∴点A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4可知，对称轴为直线x=﹣1，

设点M的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴当m=﹣2时矩形的周长最大．

∵点A（﹣3，0），C（0，3），

∴直线AC的函数表达式为y=x+3，

当x=﹣2时，y=﹣2+3=1，则点E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=AMEM=．

（3）∵点M的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，

∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，得y=4，

∴点D（﹣1，4）．

∴DQ=DC

∵FG=2DQ，

∴FG=4，

设点F（n，﹣n2﹣2n+3），则点G（n，n+3），

∵点G在点F的上方，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，解得n=﹣4或n=1．

∴点F（﹣4，﹣5）或（1，0）．