Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH，
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH=HC，从而得出四边形EBFC是菱形；
（2）由（1）得∠2=∠3，再根据∠BAC=∠ECF，得∠4=∠3，由AH⊥CB，得∠3+∠1+∠2=90°，从而得出AC⊥CF．

解答：证明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB，
∴BH=HC．（2分）
∵FH=EH，
∴四边形EBFC是平行四边形．（2分）
又∵AH⊥CB，
∴四边形EBFC是菱形．（2分）

（2）证明：∵四边形EBFC是菱形．
∴∠2=∠3=

1

2

∠ECF．（2分）
∵AB=AC，AH⊥CB，
∴∠4=

1

2

∠BAC．（1分）
∵∠BAC=∠ECF
∴∠4=∠3．（1分）
∵AH⊥CB
∴∠4+∠1+∠2=90°．（1分）
∴∠3+∠1+∠2=90°．
即：AC⊥CF．（1分）

点评：本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．