Question

某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%．其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数．

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)设该公司获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式．当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

(1) y=-10x+1000，50≤x≤70；(2) 70,6000.

试题分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用图象经过点（60，400）和（70，300），利用待定系数法求解即可；
（2）用x表示总利润，得到W=-10x²+1500x-50000，根据二次函数最值的求法求当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元．
试题解析：（1）最高销售单价为50（1+40%）=70（元），
根据题意，设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300），
∴ ，
解得 k=-10，b=1000，
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+1000，
x的取值范围是50≤x≤70；
（2）根据题意，w=（x-50）（-10x+1000），
W=-10x²+1500x-50000，w=-10（x-75）²+6250，
∵a=-10，
∴抛物线开口向下，
又∵对称轴是x=75，自变量x的取值范围是50≤x≤70，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=70时，w_最大值=-10（70-75）²+6250=6000（元），
∴当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元．
考点: 1.二次函数的应用；2.一次函数的应用.