题目内容
【题目】如图1,两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上,DE=2,AB=1.将直线EB绕点E逆时针旋转45°,交直线AD于点M.将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移,设C、E两点间的距离为k.
解答问题:
(1)①当点C与点F重合时,如图2所示,可得的值为 ;
②在平移过程中,的值为 (用含k的代数式表示);
(2)将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时,如图3所示,请补全图形,计算的值;
(3)将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度,0<α≤90,原题中的其他条件保持不变.计算的值(用含k的代数式表示).
【答案】(1)①=1;②=;(2).(3).
【解析】
试题分析:(1)①根据题意可得EM垂直平分DF,直线AF∥EM,从而转化为,继而得出结论;②仿照①的思路进行求解即可;
(2)先补全图形,连接AE,分别求出AM及DM的值,然后可确定比值.
(3)先画出图形,然后证明△ABG≌△CBE,继而推出AG∥DE,△AGM∽△DEM,利用相似三角形的性质即可得出答案.
解:(1)①如图,
∵∠MEB=45°,∠AFB=45°,
∴EM垂直且平分DF,AF∥EM,
∴==1;
②如图
由①可得====;
(2)连接AE,
∵△ABC,△DEF均为等腰直角三角形,DE=2,AB=1,
∴EF=2,BC=1,∠DEF=90°,∠4=∠5=45°
∴DF=2,AC=,∠EFB=90°,
∴DF=2AC,AD=,
∴点A为CD的中点,
∴EA⊥DF,EA平分∠DEF,
∴∠MAE=90°,∠AEF=45°,AE=,
∵∠BEM=45°,
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°,
∴∠1=∠3,
∴△AEM∽△FEB,
∴,
∴AM=,
∴DM=AD﹣AM=,
∴.
(3)过B作BE的垂线交直线EM于点G,连接AG、BG,
,
∴∠EBG=90°,
∵∠BEM=45°,
∴∠EGB=∠BEM=45°,
∴BE=BG,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠1=∠2,
∴△ABG≌△CBE,
∴AG=EC=k,∠3=∠4,
∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°,
∴∠6=∠5,
∴AG∥DE,
∴△AGM∽△DEM,
∴.