题目内容
【题目】在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,将△ABC绕点B逆时针旋转α,其中0°<α<90°得△A1BC1 , A1B交AC与点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点.
(1)在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?证明你的结论;
(2)当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由.
【答案】
(1)解:EA1=FC.理由如下:
∵AB=BC,∠ABC=120°,
∴∠A=∠C=30°,
∵△ABC绕点B逆时针旋转α,其中0°<α<90°得△A1BC1,
∴∠ABE=∠FBC1=α,∠C1=∠C=30°,BC1=BC,BA=BA1,
∴BA=BC1,
在△BAE和△BC1F中
,
∴△BAE≌△BC1F,
∴BE=BF,
∵BA1=BC=BA,
∴EA1=FC
(2)解:四边形BC1DA为菱形.理由如下:
∵α=30°,
∴∠ABA1=∠CBC1=30°,
而∠A1=∠C=30°,
∴∠ABA1=∠A1,∠CBC1=∠C,
∴AB∥A1C1,BC1∥AC,
∴四边形BC1DA为平行四边形,
∵BA=BC1,
∴四边形BC1DA为菱形
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠A=∠C=30°,再根据旋转的性质可得到∠ABE=∠FBC1=α,∠C1=∠C=30°,BC1=BC,BA=BA1 , 则BA=BC1 , 根据三角形判定方法易得△BAE≌△BC1F,得到BE=BF,又BA1=BC=BA,即可得到EA1=FC;(2)当α=30°时,∠ABA1=∠CBC1=30°,而∠A1=∠C=30°,则∠ABA1=∠A1 , ∠CBC1=∠C,根据平行线的判定方法得到AB∥A1C1 , BC1∥AC,得到四边形BC1DA为平行四边形,由BA=BC1 , 根据菱形的判定方法即可得到四边形BC1DA为菱形.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用旋转的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.
