Question

【题目】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，将△ABC绕点B逆时针旋转α，其中0°＜α＜90°得△A1BC1 ， A1B交AC与点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：EA1=FC．理由如下：

∵AB=BC，∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

∵△ABC绕点B逆时针旋转α，其中0°＜α＜90°得△A1BC1，

∴∠ABE=∠FBC1=α，∠C1=∠C=30°，BC1=BC，BA=BA1，

∴BA=BC1，

在△BAE和△BC1F中

，

∴△BAE≌△BC1F，

∴BE=BF，

∵BA1=BC=BA，

∴EA1=FC

（2）解：四边形BC1DA为菱形．理由如下：

∵α=30°，

∴∠ABA1=∠CBC1=30°，

而∠A1=∠C=30°，

∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，

∴AB∥A1C1，BC1∥AC，

∴四边形BC1DA为平行四边形，

∵BA=BC1，

∴四边形BC1DA为菱形

【解析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠A=∠C=30°，再根据旋转的性质可得到∠ABE=∠FBC1=α，∠C1=∠C=30°，BC1=BC，BA=BA1 ， 则BA=BC1 ， 根据三角形判定方法易得△BAE≌△BC1F，得到BE=BF，又BA1=BC=BA，即可得到EA1=FC；（2）当α=30°时，∠ABA1=∠CBC1=30°，而∠A1=∠C=30°，则∠ABA1=∠A1 ， ∠CBC1=∠C，根据平行线的判定方法得到AB∥A1C1 ， BC1∥AC，得到四边形BC1DA为平行四边形，由BA=BC1 ， 根据菱形的判定方法即可得到四边形BC1DA为菱形．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用旋转的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．