Question

【题目】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)∠ADO==36°.

【解析】

(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；

(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x.，在△ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC的度数，由此即可求得答案.

(1)∵AO＝OC，BO＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，

∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.

∴∠OAD＝∠ADO.

∴AO＝OD.

又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，

∴AC＝BD.

∴四边形ABCD是矩形.

(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，

在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°

∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，

∴∠ODC=3×18°=54°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.