Question

如图，在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O₁，⊙O₂．
（1）求⊙O₁的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质根据勾股定理可得半径．
（2）连接0₁E，从图中看出阴影部分的面积等于4倍的扇形面积减三角形面积，依面积公式计算即可．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠A=90°，
∴BD=

16+16

=4

2

∴BO₁=

1

4

BD=

2

∴⊙O₁的半径=

2

．

（2）设线段AB与圆O1的另一个交点是E，连接0₁E
∵BD为正方形ABCD的对角线
∴∠ABO=45°
∵O₁E=O₁B
∴∠BEO₁=∠EBO₁=45°
∴∠BO₁E=90°
∴S₁=S_扇形O1BE-S_△O1BE=

90×π×2

360

-

1

2

×2=

1

2

π-1
根据图形的对称性得：S₁=S₂=S₃=S₄
∴S_阴影=4S₁=2π-4．

点评：本题综合考查了正方形的性质和勾股定理的应用及扇形的面积公式．