题目内容
【题目】(12分)如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，点C在DE上，点B在DF上．
(1)求重叠部分△BCD的面积；
(2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N.
①求证：DM＝DN；
②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由；
(3)如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度(0＜α＜90)，DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结论，不需要说明理由)
【答案】(1) 
(2)①见解析 ②不变 (3) 仍成立，不变
【解析】试题分析:(1)重叠部分△BCD是一个等腰直角三角形,求出其直角边,即可求解,
(2)连接BD,根据等腰直角三角形的性质可得: ∠C=∠ABD=45°,CD=BD,
又因为∠CDM+∠BD M=∠BDN+∠BDM=90°,所以∠CDM =∠BDN,
根据角边角可以判定△CDM≌△BDN,所以重叠部分四边形的面积等于△BCD的面积,即面积不变,
(3)连接BD,根据(2)中的解题思路可证△CDM≌△BDN,所以重叠部分四边形的面积等于△BCD的面积,即面积不变.
试题解析: (1)∵AB=BC,AC=2,D是AC的中点,
∴CD=BD=
AC=1,BD⊥AC.
∴S△BCD＝
CD·BD=
×1×1=
.
(2)①证明:连接BD,则BD垂直平分AC.
∴BD=CD,∠C=∠NBD=45°,
又∵∠CDM=∠BDN,
∴△CDM≌△BDN(ASA)．
∴DM=DN.
②由①知△CDM≌△BDN，∴S四边形BNDM＝S△BCD＝
，即此条件下重叠部分的面积不变，为
.
(3)DM=DN的结论仍成立,重叠部分的面积不会变.
