题目内容
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC＜AB＜2BC．在AB边上取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．（1）证明：∠AFM=45°；
（2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，请你在图2的位置上画出图形，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请猜想∠AFM的度数，并说明理由．
【答案】分析：（1）连接EM，根据AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出△AEM≌△BMC；根据直角三角形的性质可知△EMC是等腰直角三角形；再结合平行线的性质可知∠AFM=45度．
（2）根据题意画出图形，再用（1）中方法证明∠AFM=45°不成立．
解答：
证明：（1）连接EM．
∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．
∵AE=MB，AM=CB，
∴△AEM≌△BMC．
∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠BMC+∠AME=90．
∴∠EMC=90°．
∴△EMC是等腰直角三角形．
∴∠MCE=45°
∵AN∥CE，
∴∠AFM=∠MCE=45°．
（7分）
解：（2）画出图②（9分）
不成立．∠AFM=135°．（10分）
连接ME．
前半部分证明方法与（1）同．
∴∠MCE=45°．
∵AN∥CE，∴∠AFM+∠MCE=180°．
∴∠AFM=135°．（12分）
点评：本题比较复杂，解答此题的关键是先画出图形作出辅助线，然后结合全等三角形、等腰三角形及平行线的性质解答，有一定难度．
（2）根据题意画出图形，再用（1）中方法证明∠AFM=45°不成立．
解答：
证明：（1）连接EM．∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．
∵AE=MB，AM=CB，
∴△AEM≌△BMC．
∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠BMC+∠AME=90．
∴∠EMC=90°．
∴△EMC是等腰直角三角形．
∴∠MCE=45°
∵AN∥CE，
∴∠AFM=∠MCE=45°．
（7分）解：（2）画出图②（9分）
不成立．∠AFM=135°．（10分）
连接ME．
前半部分证明方法与（1）同．
∴∠MCE=45°．
∵AN∥CE，∴∠AFM+∠MCE=180°．
∴∠AFM=135°．（12分）
点评：本题比较复杂，解答此题的关键是先画出图形作出辅助线，然后结合全等三角形、等腰三角形及平行线的性质解答，有一定难度．
练习册系列答案
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