Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：BC²=BD•BE．
证明：∵ED是直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90°，
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴，
∴BC²=BD•BE．
分析：（1）连接OC，根据OA=OB，CA=CB，可以证明OC⊥AB，利用切线的判定定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得到AB是⊙O的切线；
（2）根据ED是直径，直径所对的圆周角是直角，以及圆的切线垂直于过切点的半径，利用等量代换得到∠E=∠BCD，又∠B公共，可以证明△BCD∽△BEC，然后利用相似三角形的性质，对应线段的比相等得到BC²=BD•BE．
点评：本题考查了切线的判定，（1）利用等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，得到OC⊥AB，证明AB是⊙O的切线．（2）根据题意证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质，得到线段BC，BD和BE的数量关系．