Question

如图，在□ABCD中,点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME.
（1）若AM=2AE=4，∠BCE=30°,求□ABCD的面积；
（2）若BC=2AB，求证：∠EMD=3∠MEA.

Answer 1

（1）24；（2）证明见解析.

试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长，进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），进而得出∠EMC=2∠N=2∠AEM，再求出∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，进而得出答案．
（1）解：∵M为AD的中点，AM=2AE=4，
∴AD=2AM=8．在?ABCD的面积中，BC=CD=8，
又∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴BE=BC=4，
∴AB=6，CE=4，
∴?ABCD的面积为：AB×CE=6×4=24；
（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．

∵在?ABCD中，AB⊥CD，∴∠AEM=∠N，
在△AEM和△DNM中
∵，
∴△AEM≌△DNM（ASA），
∴EM=MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN=MC．∴∠N=∠MCN，
∴∠EMC=2∠N=2∠AEM．
∵在平行四边形ABCD中，BC=AD=2DM，BC=2AB=2CD，
∴DC=MD，
∴∠DMC=∠MCD=∠N=∠AEM，
∴∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，
即∠EMD=3∠AEM．