题目内容
(2012•青海)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C
(1)求证:CB∥MD;
(2)若BC=4,sinM=
,求⊙O的直径.
(1)求证:CB∥MD;
(2)若BC=4,sinM=
2 | 3 |
分析:(1)由∠C与∠M是
所对的圆周角,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得∠C=∠M,又由∠1=∠C,易得∠1=∠M,即可判定CB∥MD;
(2)首先连接AC,AB为⊙O的直径,可得∠ACB=90°,又由弦CD⊥AB,根据垂径定理的即可求得
=
,继而可得∠A=∠M,又由BC=4,sinM=
,即可求得⊙O的直径.
BD |
(2)首先连接AC,AB为⊙O的直径,可得∠ACB=90°,又由弦CD⊥AB,根据垂径定理的即可求得
BC |
BD |
2 |
3 |
解答:(1)证明:∵∠C与∠M是
所对的圆周角,
∴∠BCD=∠M,
又∵∠1=∠C,
∴∠1=∠M,
∴CB∥MD;
(2)解:连接AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵CD⊥AB,
∴
=
,
∴∠A=∠M,
∴sinA=sinM,
在Rt△ACB中,sinA=
,
∵sinM=
,BC=4,
∴
=
解得,AB=6,
即⊙O的直径为6.
BD |
∴∠BCD=∠M,
又∵∠1=∠C,
∴∠1=∠M,
∴CB∥MD;
(2)解:连接AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵CD⊥AB,
∴
BC |
BD |
∴∠A=∠M,
∴sinA=sinM,
在Rt△ACB中,sinA=
BC |
AB |
∵sinM=
2 |
3 |
∴
4 |
AB |
2 |
3 |
解得,AB=6,
即⊙O的直径为6.
点评:此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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