题目内容

【题目】如图1⊙OAB是直径,C⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE∠DCE是直角,点D在线段AC上.

1)证明:BCE三点共线;

2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM

3)将△DCE绕点C逆时针旋转αα90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.

【答案】1)证明:∵AB是直径,

∴∠BCA=90°

而等腰直角三角形DCE∠DCE是直角,

∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°

∴BCE三点共线;

2)连接BDAEON,延长BDAEF,如图,

∵CB=CACD=CE

∴Rt△BCD≌Rt△ACE

∴BD=AE∠EBD=∠CAE

∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE

∵M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而OAB的中点,

∴ON=BDOM=AEON∥BDAE∥OM

∴ON=OMON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,

∴MN=OM

3)成立.理由如下:

和(2)一样,易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1,同里可证BD1⊥AE1△ON1M1为等腰直角三角形,

从而有M1N1=OM1

【解析】略

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