题目内容
如图，在△ABC中，正方形EFGH内接于△ABC，点E、F在边AB上，点G、H分别在BC、AC上，且EF2=AE•FB．（1）求证：∠C=90°；
（2）求证：AH•CG=AE•FB．
分析：（1）根据题意，易证△AEH∽△GFB，可得∠A=∠FGB，利用等角的余角相等，即可得出∠B+∠A=90°，又根据平角等于180°，即∠C+∠B+∠A=180°，即证∠C=90°．
（2）根据平行关系，易得△AEH∽△HCG，即有
=
，结合已知条件，EF=GH=HE，即有EF2=AH•CG，又EF2=AE•FB
即证AH•CG=AE•FB．
（2）根据平行关系，易得△AEH∽△HCG，即有
| AH |
| GH |
| HE |
| CG |
即证AH•CG=AE•FB．
解答：证明：（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠GFB=90°（1分）
∵EF2=AE•FB∴
=
（1分）
∴△AEH∽△GFB（1分）
∴∠A=∠FGB（1分）
∵∠B+∠FGB=90°
∴∠B+∠A=90°（1分）
∵∠C+∠B+∠A=180°
∴∠C=90°（1分）
（2）∵GH∥AB
∴∠CHG=∠A（1分）
又（1）可得：∠C=∠AEH=90°（1分）
∴△AEH∽△HCG（1分）
∴
=
（1分）
∵EF=GH=HE
∴EF2=AH•CG（1分）
又EF2=AE•FB
∴AH•CG=AE•FB（1分）
∴EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠GFB=90°（1分）
∵EF2=AE•FB∴
| HE |
| BF |
| AE |
| GF |
∴△AEH∽△GFB（1分）
∴∠A=∠FGB（1分）
∵∠B+∠FGB=90°
∴∠B+∠A=90°（1分）
∵∠C+∠B+∠A=180°
∴∠C=90°（1分）
（2）∵GH∥AB
∴∠CHG=∠A（1分）
又（1）可得：∠C=∠AEH=90°（1分）
∴△AEH∽△HCG（1分）
∴
| AH |
| GH |
| HE |
| CG |
∵EF=GH=HE
∴EF2=AH•CG（1分）
又EF2=AE•FB
∴AH•CG=AE•FB（1分）
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质的应用和正方形的性质，属于几何综合题，具有一定的综合性．
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