Question

如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到了G点．
（1）请画出旋转后的图形，说出此时△APC绕点B旋转了多少度？
（2）求出PG的长度（可以不化简）．
（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．
（4）求∠APB的度数．

Answer 1

解：（1）旋转后的△BCG如图所示，
∵正方形ABCD，
∴对应边AB与BC的夹角∠ABC=90°，
则旋转角为90°；

（2）连接PG，由旋转的性质可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG为等腰直角三角形，
又BP=BG=2，
∴PG==2；

（3）△PGC为直角三角形，理由如下：
证明：由旋转的性质可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=2 ，
∵PG²+CG²=（2）²+1²=9，PC²=9，
∴PG²+CG²=PC²，
∴△PGC为直角三角形；

（4）由旋转可知∠APB=∠BGC，
由（2）得到△BPG为等腰直角三角形，所以∠PGB=45°，
由（3）得到△PGC为直角三角形，所以∠PGC=90°，
则∠APB=∠BGC=∠PGB+∠PGC=90°+45°=135°．
分析：（1）根据正方形的性质得到∠ABC=90°，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合时，旋转角为90°；
（2）连接PG，证明△BPG为等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；
（3）猜想△PGC为直角三角形，理由：由旋转的性质可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判断△PGC为直角三角形；
（4）由（3）得到∠PGC为直角，又（2）得到△BPG为等腰直角三角形，即可求出∠BGC的度数，由旋转可知∠APB等于∠BGC，即可得到∠APB的度数．
点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用．解本题的关键是由旋转角为90°，对应边相等，得出等腰直角三角形．