Question

如图，在△ABC中，内角平分线BP和外角平分线CP相交于点P，根据下列条件求∠P的度数．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠P=______，若∠ABC+∠ACB=110°，则∠P=______；
（2）若∠BAC=90°，则∠P=______；
（3）从以上的计算中，你能发现∠P与∠BAC的关系是______；
（4）证明第（3）题中你所猜想的结论．

Answer 1

（1）解：∵∠ACB=80°，
∴∠ACD=180°-80°=100°，
∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=∠ABC=×50°=25°，∠PCD=∠ACD=×100°=50°，
在△PCD中，∠PBC+∠P=∠PCD，
即25°+∠P=50°，
解得∠P=25°；
∵∠ABC+∠ACB=110°，
∴∠A=180°-110°=70°，
∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠A+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠A=2∠P，
∠P=∠A=×70°=35°；

（2）解：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∠P=∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠P=45°；

（3）由计算可知，∠P=∠A；

（4）证明：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∠P=∠BAC．
故答案为：（1）25°，35°；（2）45°；（3）∠P=∠A．
分析：（1）根据互为邻补角的和等于180°求出∠ACD的度数，再根据角平分线的定义求出∠PBC、∠PCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可求出∠P的度数，根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠PCD，整理即可得解；
（2）根据（1）的思路可以求出∠P=∠BAC；
（3）根据计算得出关系式即可；
（4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD与∠PCD，再根据角平分线的定义可得∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，然后整理即可得证．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律性较强，但难度不大，用两种方法表示出∠PCD是解题的关键．