Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．

【解析】

第一问根据内错角相等，得到两边平行，然后再根据三角形内角和等于180度得到另一对内错角相等，从而证得原四边形是平行四边形；第二问分别考虑P在BC和DA上的情况求出t的值.

（1）∵∠BAC=∠ACD=90°，

∴AB∥CD，

∵∠B=∠D，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，

∴∠DAC=∠ACB，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′

由勾股定理得：AC=4cm，

即AB、CD间的最短距离是4cm，

∵AB=3cm，AE=AB，

∴AE=1cm，BE=2cm，

设经过ts时，△BEP是等腰三角形，

当P在BC上时，

①BP=EB=2cm，

t=2时，△BEP是等腰三角形；

②BP=PE，

作PM⊥AB于M，

∴BM=ME=BE=1cm

∵cos∠ABC===，

∴BP=cm，

t=时，△BEP是等腰三角形；

③BE=PE=2cm，

作EN⊥BC于N，则BP=2BN，

∴cosB==，

∴=，

BN=cm，

∴BP=，

∴t=时，△BEP是等腰三角形；

当P在CD上不能得出等腰三角形，

∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，

当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，

过P作PQ⊥BA于Q，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠QAD=∠ABC，

∵∠BAC=∠Q=90°，

∴△QAP∽△ABC，

∴PQ：AQ：AP=4：3：5，

设PQ=4xcm，AQ=3xcm，

在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，

∴x=，

AP=5x=cm，

∴t=5+5+3﹣=，

答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．