题目内容
【题目】已知OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上,O为坐标原点,直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E,直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G.
(1)如图,在点A、C移动的过程中,若点B在x轴上,
①直线 AC是否会经过一个定点,若是,请直接写出定点的坐标;若否,请说明理由.
②OABC是否可以形成矩形?如果可以,请求出矩形OABC的面积;若否,请说明理由.
③四边形AECG是否可以形成菱形?如果可以,请求出菱形AECG的面积;若否,请说明理由.
(2)在点A、C移动的过程中,若点B不在x轴上,且当OABC为正方形时,直接写出点C的坐标.
【答案】
(1)
解:①是,经过定点(3,0).理由如下:
如图1中,连接AC交OB于K.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OK=KB,BC∥OA,BC=OA,
∴∠CBF=∠AOD,
在△DOA和△FBC中,
,
∴△DOA≌△FBC,
∴OD=FB=2,
∴OB=6,
∵OK=KB,
∴OK=3,
∴K(3,0),
∴直线AC经过定点K(3,0).
②可以.利用如下:
当∠OCB=90°时,四边形OABC是矩形,
由(1)可知△DOA≌△FBC,
∴OD=BF=2,
∵∠OCF+∠FCB=90°,∠FCB+∠CBF=90°,
∴∠OCF=∠CBF,
∵∠CFO=∠CFB,
∴△CFO∽△BFC,
∴ = ,
∴ = ,
∴CF=2 ,
∴S矩形OABC=2S△OBC=2× × =12 .
③可以.理由如下:
如图3中,易知当OE=EC=AE时,四边形AECG是菱形.
由(1)可知,△DOA≌△FBC,
∴AD=CF,
∵DE= CF,设DE=x,则AD=CF=2x,OE=AE=3x,
在Rt△ADE中,∵OE2=OD2+DE2,
∴9x2=x2+4,
∴x= ,
∴AE= ,
∴S菱形AECG=AEDF= ×2=3
(2)
解:如图4中,
当四边形OABC是正方形时,易证△DOA≌△FCO,
∴OD=CF=2,
∴点C坐标(4,2),
根据对称性C′(4,﹣2)时,也满足条件.
综上所述,点C坐标为(4,2)或(4,﹣2)
【解析】(1)①是,经过定点(3,0).如图1中,连接AC交OB于K,只要证明OD=FB=2,推出OB=6,即可解决问题.②当∠OCB=90°时,四边形OABC是矩形,由(1)可知△DOA≌△FBC,推出OD=BF=2,由△CFO∽△BFC,可得 = ,由此即可解决问题.③可以.如图3中,易知当OE=EC=AE时,四边形AECG是菱形.由(1)可知,△DOA≌△FBC,推出AD=CF,易知DE= CF,设DE=x,则AD=CF=2x,OE=AE=3x,在Rt△ADE中,根据OE2=OD2+DE2 , 列出方程即可解决问题.(2)如图4中,当四边形OABC是正方形时,易证△DOA≌△FCO,推出OD=CF=2,推出点C坐标(4,2),根据对称性C′(4,﹣2)时,也满足条件.
【考点精析】认真审题,首先需要了解菱形的性质(菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半),还要掌握矩形的性质(矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等)的相关知识才是答题的关键.