Question

【题目】已知，平行四边形中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接、；

（1）如图1，求证：四边形是菱形；

（2）如图2，当，点在上，连接，使，过点作于点，作于点，连接，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，交于点，若，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）

【解析】

（1）利用垂直平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明即可得到答案，

（2）取的中点，过作于 连接，得到在以为圆心，为半径的圆上，设 利用圆的性质与菱形的性质分别表示，从而可得答案，

（3）以为坐标原点，所在的直线为轴，利用平行四边形与菱形的性质求解的坐标，求解的函数解析式，求解的坐标，直接求的长即可．

证明：（1）是的垂直平分线，

四边形是菱形．

（2）取的中点，过作于 连接，

在以为圆心，为半径的圆上，

设

四边形是菱形，

互相垂直平分，

为等边三角形，

（3）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

由（2）知：

菱形，

为等边三角形，

由 即

设为

为

，结合平行四边形与菱形的中心对称性得到：

过作于，

设为

解得：

为

解得：