题目内容
【题目】如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x。
（1）当AM=
时，求x的值；
（2）随着点M在边AD上位置的变化，ΔPDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
（3）若AM=a,四边形BEFC的面积为S，求S与a之间的函数表达式。
【答案】（1）
；（2）ΔPDM的周长不变，为定值2；（3）S=
【解析】
（1）利用勾股定理构建方程，即可解决问题；（2）ΔPDM的周长不变，为定值2，连接BM，BP，过B作BH⊥MN于点H，根据折叠性质、等边对等角、两直线平行内错角相等证明
，得到AM=HM，AB=BH， 再证明
，得到HP=CP，所以ΔPDM的周长=MD+DP+MP=MD+DP+HM+HP=MD+DP+AM+CP=AD+DC=2.
(3) 过F点作FQ⊥AB，连接BM，EM=BE=x，由折叠性质证明
，所以AM=QE，在RtΔAEM中，由勾股定理得：
，即
，所以
，又因为FQ⊥AB，四边形ABCD是正方形，可得CF=BQ=BE-QE=
，再根据梯形面积公式即可解答.
解:（1）由题意可知，BE=EM=x，AE=1-x，在RtΔAEM中
，解得
.
（2）ΔPDM的周长不变，为定值2；
如图1，连接BM，BP，过B作BH⊥MN于点H，
∵BE=EM
∴∠EBM=∠EMB
又∵∠EBC=∠EMN=90°
∴∠MBC=∠BMN
∵AD∥BC
∴∠AMB=∠MBC=∠BMN
在RtΔABM和RtΔHBM中
∴
∴AM=HM，AB=BH
在RtΔBHP和RtΔBCP中
∴
∴HP=CP.
又∵ΔPDM的周长=MD+DP+MP=MD+DP+HM+HP=MD+DP+AM+CP=AD+DC=2.
∴ΔPDM周长为定值2.
（3）如备用图，过F点作FQ⊥AB，连接BM
由折叠可知，∠BEF=∠MEF，BM⊥EF，EM=BE=x
∴∠QEF=∠EMB=∠EBM
在RtΔABM和RtΔQFE中
∴
∴AM=QE
在RtΔAEM中，
即
∴
∵FQ⊥AB，四边形ABCD是正方形
∴CF=BQ=BE-QE=
∴
.
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