Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若DE=2

3

，求以BC为直径的半圆的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据平行线分线段成比例定理，以及圆周角定理，即可证明CD是AB的中垂线，即可证得BC=AC，进而即可证得；
（2）在直角△ADE中，利用三角函数即可求得AD，根据：△ABC是等边三角形，即可求得半径，从而求解．

解答：（1）证明：连接OD．CD，则OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵OB=OC，
∴AD=BD，
∵BC是直径，
∴CD⊥AB，
∴BC=AC，
又∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形；

（2）解：在直角△ADE中，∠A=60°，
∴AD=

DE

sin60°

=

2 3

3 2

=4，
∴OB=BD=AD=4，
∴以BC为直径的半圆的面积是：

1

2

π×4²=8π．

点评：题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．