Question

已知二次函数图象的顶点为P（1，-4），且与x轴的一个交点坐标A（3，0），
（1）求该二次函数的解析式（化为一般形式）；
（2）若二次函数图象上有两点（2，y₁），（3，y₂），试判断函数值y₁、y₂的大小；
（3）请问：如何平移该抛物线（写出一种简单情况即可），使图象经过原点？并写出此时抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）²-4，然后把A点坐标代入求出a即可；
（2）分别计算x=2和3的函数值，然后比较大小；
（3）可把A（3，0）移到原点，即把抛物线y=（x-1）²-4向左平移3个单位，则顶点（1，-4）也向左平移3个单位．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-4，
把A（3，0）代入得a（3-1）²-4=0，
解得a=1．
所以二次函数的解析式为y=（x-1）²-4=x²-2x-3；

（2）当x=2时，y₁=4-4-3=-3；当x=3时，y₂=9-6-3=0，
所以y₁＜y₂；

（3）把抛物线y=（x-1）²-4向左平移3个单位，再向上平移4个单位使得到的抛物线过原点，此时抛物线的顶点坐标为（-2，-4）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．