题目内容
如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D. 点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s)。
1.(1)当x为何值时,PQ⊥AC, x为何值时,PQ⊥AB;
2.(2)设△PQD的面积为y(cm2),当0<x<2时,求y与x的函数关系式;
3.(3)当0<x<2时,求证:AD平分△PQD的面积。
【答案】
1.1)
解:当Q在AB上时,显然PQ不垂直于AC. 当Q在AC上时,
由题意得,BP=x,CQ=2x,PC=4-x,∵AB=BC=CA=4 ∴∠C=60°;
若PQ⊥AC,则有∠QPC=30°,∴PC=2CQ,∴4-x=2×2x, ∴,
当(Q在AC上)时,PQ⊥AC,………2分
如图:①当PQ⊥AB时,BP=x,BQ=,AC+AQ=2x, ∵AC=4,∴AQ=2x-4,∴
∴,故时PQ⊥AB. ………4分
2.(2)
解:如图②,当0<x<2时,P在BD上,Q在AC上,
过点Q作QH⊥BC于H,∵∠C=60°,QC=2x,
∴QH=QC×sin60°=x
,∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∴DP=2-x,………5分
∴………6分
3.(3)当0<x<2时,在Rt△QHC中,QC=2x,∠C=60°,
∴HC=x∴BP=HC,∴BD=CD, ∴DP=DH
∵AD⊥BC,QH⊥BC ∴AD∥QH,
∴OP=OQ ∴
∴AD平分△PQD的面积………7
【解析】略
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