Question

AB是⊙O的直径，把AB分成n条线段，以每条线段为直径分别画小圆，设⊙O的半径为r，那么⊙O的周长l=2πr，⊙O的面积S=πr²．计算：

（1）如图①，把AB分成两条相等的线段，则每个小圆的周长l2=πr=

1

2

l；
（2）如图②，把AB分成三条相等的线段，则每个小圆的周长l₃=

1

3

l

；
（3）如图③，把AB分成n条相等的线段，则每个小圆的周长l_n=

1

n

l

．
（4）如图④，把AB分成n条不相等的线段，记n个小圆的周长分别为C_l，C₂，…，C_n，则n个小圆的周长与大圆的周长的关系为

相等

．
请依照上面的探索方法和步骤，分别计算出如图①、②、③中每个小圆面积与大圆面积的关系．（直接写出结论，不要求写过程）

Answer 1

分析：（2）根据圆的半径的变原来的

1

3

得出周长即可；
（3）根据圆的半径的变为原来的

1

n

得出周长即可；
（4）利用圆的周长公式得出n个小圆的周长与大圆的周长的关系，根据圆的面积公式，将每个圆的面积计算出来即可．

解答：解：（2）根据l=2πr，
把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L₃=

1

3

×2πr=

1

3

l，
故答案为：

1

3

l；

（3）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L_n=

1

n

×2πr=

1

n

l．
故答案为：

1

n

l；

（4）把AB分成n条不相等的线段，记n个小圆的周长分别为C_l，C₂，…，C_n，
则n个小圆的周长为：2π（r₁+r₂+…+r_n）=2πr，
大圆的周长的关系为：2πr，
故n个小圆的周长与大圆的周长的关系为：相等，
以r为半径的圆的面积为：S=πr²．
把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S₂=π×（

1

2

r）²=

1

4

πr²=

1

22

S；
把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积S₃=

1

32

πr²=

1

32

S；
把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积S_n=

1

n2

S．
故答案为：相等．

点评：此题主要考查了图形的变化类，将每个特殊的圆的面积计算出来，通过总结规律得出一般公式是解题关键．