Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y= x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y= x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6 ，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y= x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=mx2+4mx﹣5m，

∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．

令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，

∵m≠0，

∴x=﹣5或x=1．

∴A（﹣5，0）、B（1，0）．

∴抛物线的对称轴为x=﹣2．

∵抛物线的顶点坐标为为6 ，

∴﹣9m=6 ．

∴m=﹣ ．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+

（2）

解：由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）

（3）

解：如图所示：

∵OP的解析式为y= x，

∴∠AOP=30°．

∴∠PBF=60°

∵PD⊥PF，FO⊥OD，

∴∠DPF=∠FOD=90°．

∴∠DPF+∠FOD=180°．

∴点O、D、P、F共圆．

∴∠PDF=∠PBF．

∴∠PDF=60°．

【解析】（1）先提取公式因式将原式变形为y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=6 ，于是可求得m的值；（2）由（1）的可知点A、B的坐标（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．本题主要考查的是二次函数的性质、解一元二次方程、函数图象与坐标轴的交点，四点共圆、圆周角定理的应用，证得点O、D、P、F共圆是解题的关键．
【考点精析】掌握因式分解法和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．