Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E．
（1）证明△AED≌△CGF；
（2）若∠B=90°，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）证明：∵F为边BC的中点，
∴BC=2CF，
∵BC=2AD，
∴AD=CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AF∥CD，AF=CD，
∵DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴DE=FG，EF=DG，
∴AE=CG，
∴△AED≌△CGF（SSS）；

（2）四边形DEFG是菱形．
理由：连接DF，
∵BC=2BF，BC=2AD，
∴AD=BF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∵∠B=90°，
∴∠DFC=∠B=90°，
∵G是CD的中点，
∴FG=DG=CD，
∴平行四边形DEFG是菱形．
分析：（1）由题意易证得四边形AFCD是平行四边形与四边形DEFG是平行四边形，然后由SSS即可证得△AED≌△CGF；
（2）首先连接DF，证得四边形ABFD是平行四边形，即可得△DFC是直角三角形，由G为边CD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的知识，即可证得FG=DG，则可证得四边形DEFG是菱形．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，梯形的性质，菱形的判定，以及全等三角形的判定等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．