Question

附加题：
如图，在直角坐标系中，点O₁在x轴上，⊙O₁与x轴交于点A（

2

-1，0），B（

2

+1，0）．直线y=x+1与坐标轴交于C、D两点，直线在⊙O₁的左侧．
（1）求△DOC的面积；
（2）当直线向右平移，第一次与⊙O₁相切时，求直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）先由直线的解析式y=x+1求出C、D两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解；
（2）先由直线平移不改变斜率，设出所求直线l的解析式为y=x+b，过点O₁作O₁M⊥l于M，根据切线的性质得出O₁M等于⊙O₁的半径1，再由互相垂直的两条直线的斜率之积为-1，可知直线O₁M的斜率为-1．设直线O₁M的解析式为y=-x+t，将O₁点的坐标（

2

，0）代入，运用待定系数法求出直线O₁M的解析式，将它与所求直线l的解析式y=x+b联立，得出用含b的代数式表示两直线的交点M的坐标，然后根据O₁M=1列出关于b的方程，解方程即可．

解答：解：（1）如图．
∵直线y=x+1与坐标轴交于C、D两点，
∴点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（-1，0），
∴△DOC的面积为：

1

2

×OC×OD=

1

2

×1×1=

1

2

；

（2）如图，当直线y=x+1向右平移，第一次与⊙O₁相切时，设所求直线l的解析式为y=x+b，过点O₁作O₁M⊥l于M，则O₁M=

1

2

AB=1．
∵互相垂直的两条直线的斜率之积为-1，
∴直线O₁M的斜率为-1．
设直线O₁M的解析式为y=-x+t，
将O₁点的坐标（

2

，0）代入，
得-

2

+t=0，解得t=

2

，
则直线O₁M的解析式为y=-x+

2

．
解方程组

y=x+b y=-x+ 2

，得

x= 2 -b 2 y= 2 +b 2

，
所以点M的坐标为（

2 -b

2

，

2 +b

2

）．
∵O₁M=1，
∴（

2

-

2 -b

2

）²+（

2 +b

2

）²=1，
解得b₁=0，b₂=-2

2

（不合题意，舍去）．
故所求直线的解析式为y=x．

点评：本题是一次函数的综合题型，涉及到求直线与坐标轴的交点，计算三角形的面积，用待定系数法求函数的解析式，运用切线的性质及两点间的距离公式，求两直线的交点坐标，直线平移的性质等知识，综合性较强，有一定难度．