题目内容

【题目】某数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究:

问题发现:如图1,在等边三角形ABC中,点M是边BC上任意一点,连接AM,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,证明:BM=CN.

变式探究:如图2,在等腰三角形ABC中,BA=BC,ABC=α,点M为边BC上任意一点,以AM为腰作等腰三角形AMN,MA=MN,使AMN=ABC,连接CN,请求出的值.(用含α的式子表示出来)

解决问题:如图3,在正方形ADBC中,点M为边BC上一点,以AM为边作正方形作AMEF,N为正方形AMEF的中心,连接CN,若正方形AMEF的边长为,CN=,请你求正方形ADBC的边长.

【答案】问题发现:证明见解析;变式探究:2sin 解决问题:3

【解析】

试题分析:问题发现:根据ABCAMN为等边三角形,得到AB=AC,AM=AN且BAC=MAN=60°从而得到BACCAM=MANCAM,即BAM=CAN,证明BAM≌△CAN,即可得到BM=CN.

变式探究:根据ABCAMN为等腰三角形,得到=1且ABC=AMN,证明ABCAMN,得到,利用等腰三角形的性质BA=BC,得到,证明ABMACN,得到,作BDAC,如图2,再由AB=BC,得到ABD=,根据sinABD=,得到AD=ABsin,则AC=2AD=2ABsin,从而得到=2sin

解决问题:利用四边形ADBC,AMEF为正方形,得到ABC=BAC=45°MAN=45°,即BAM=CAN,由,得到,证明ABMACN,得到,进而得到=cos45°=,求出BM=2,设AC=x,利用勾股定理,在RtAMC,AC2+CM2=AM2,即x2+(x﹣2)2=10,解得:x1=3,x2=﹣1(舍去),即可解答.

解:问题发现,

∵△ABCAMN为等边三角形,

AB=AC,AM=AN且BAC=MAN=60°

∴∠BACCAM=MANCAM

∴∠BAM=CAN

BAMCAN中,

∴△BAM≌△CAN

BM=CN

变式探究:=1且ABC=AMN

∴△ABCAMN

AB=BC

AM=MN

∴∠BAM=CAN

∴△ABMACN

作BDAC,如图2,

AB=BC,

∴∠ABD=

sinABD=

AD=ABsin

AC=2AD=2ABsin

=2sin

解决问题:

如图3,连接AB,AN.

四边形ADBC,AMEF为正方形,

∴∠ABC=BAC=45°MAN=45°

∴∠BACMAC=MANMAC

BAM=CAN

∴△ABMACN

=cos45°=

BM=2

设AC=x,

在RtAMC

AC2+CM2=AM2

即x2+(x﹣2)2=10,

解得:x1=3,x2=﹣1(舍去),

答:边长为3.

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