题目内容

如图，已知二次函数y＝－x2＋mx＋4m的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(B点在A点的右边)，与y轴的正半轴交于点C，且(x1＋x2)－x1x2＝10．

(1)求此二次函数的解析式．

(2)写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；

(3)连接BM，动点P在线段BM上运动(不含端点B，M)，过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)由根与系数的关系，得

　　∵(x1＋x2)－x1x2＝10，

　　∴m＋4m＝10，m＝2．

　　∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋8．

　　(2)由－x2＋2x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝4．

　　y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9．

　　∴B，C，M的坐标分别为B(4，0)，C(0，8)，M(1，9)．

　　(3)如图，过M作MN⊥x轴于N，则ON＝1，MN＝9，OB＝4，BN＝3．

　　∵OH＝t(1＜t＜4)，∴BH＝4－t．

　　由PH∥MN，可求得PH＝3BH＝3(4－t)，

　　∴S＝(PH＋CO)·OH

　　＝(12－3t＋8)t

　　＝－t2＋10t(1＜t＜4)．

　　S＝－t2＋10t＝－(t－)2＋．

　　∵1＜＜4．

　　∴当t＝时，S有最大值，其最大值为．

　　分析：(1)由根与系数的关系，得到x1和x2的关系式进而求出m的值，所以可求此二次函数的解析式；

　　(2)令y＝0解一元二次方程，可求出B，C两点的坐标；把二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标；

　　(3)过M作MN⊥x轴于N，则ON＝1，MN＝9，OB＝4，BN＝3，再由PH∥MN，可求得PH＝3BH＝3(4－t)，所以S＝－t2＋10t＝－(t－)2＋可求出四边形PCOH的面积S最大值．

　　点评：本题考查了二次函数的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．


练习册系列答案
相关题目
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（
5
2
，
13
4
），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的精英家教网三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若直线l：y=kx（k＞0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线l′：y=m与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
精英家教网
精英家教网如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+b与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象交于点E．
（1）求b的值及这个二次函数的关系式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点，则四边形DCEP能否构成平行四边形？如果能，请求出此时P点的坐标；如果不能，请说明理由．
（4）以PE为直径的圆能否与y轴相切？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．
精英家教网如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点C（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，-2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．
（2012•衡水一模）如图，已知二次函数y=-
12
x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积；
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网