题目内容
【题目】如图,AB为⊙O的直径,直线BM⊥AB于点B,点C在⊙O上,分别连接BC,AC,且AC的延长线交BM于点D,CF为⊙O的切线交BM于点F.
(1)求证:CF=DF;
(2)连接OF,若AB=10,BC=6,求线段OF的长.
【答案】(1)详见解析;(2)OF=.
【解析】
(1)连接OC,如图,根据切线的性质得∠1+∠3=90°,则可证明∠3=∠4,再根据圆周角定理得到∠ACB=90°,然后根据等角的余角相等得到∠BDC=∠5,从而根据等腰三角形的判定定理得到结论;
(2)根据勾股定理计算出AC=8,再证明△ABC∽△ABD,利用相似比得到AD=,然后证明OF为△ABD的中位线,从而根据三角形中位线性质求出OF的长.
(1)证明:连接OC,如图,
∵CF为切线,
∴OC⊥CF,
∴∠1+∠3=90°,
∵BM⊥AB,
∴∠2+∠4=90°,
∵OC=OB,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠3+∠5=90°,∠4+∠BDC=90°,
∴∠BDC=∠5,
∴CF=DF;
(2)在Rt△ABC中,AC==8,
∵∠BAC=∠DAB,
∴△ABC∽△ABD,
∴,即
,
∴AD=,
∵∠3=∠4,
∴FC=FB,
而FC=FD,
∴FD=FB,
而BO=AO,
∴OF为△ABD的中位线,
∴OF=AD=
.

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