Question

函数y=x²+（2k-1）x+k²的图象与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时的取值范围．

Answer 1

解：不一定．例如当k=0时，函数的图象与x轴交于点（0，0）和（1，0），不都在直线x=1的两侧．
设函数的图象与x轴的两交点坐标的横坐标为x₁、x₂，
则x₁+x₂=-（2k-1），x₁x₂=k²
当且仅当满足如下条件△≥0，（x₁-1）（x₂-2）＞0、（x₁-1）+（x₂-2）＞0时，
抛物线与x轴的交点都在直线x=1的右侧，
即k的值同时满足（2k-1）²-4k²≥0、k²-2k＞0、-2k-1＞0，
解得：k＜-2，
∴当k＜-2时，抛物线与x轴的两个交点在直线x=1的右侧．
分析：（1）当函数的图象经过原点时，与x轴的两交点就不都在直线x=1的右侧，可通过举例来验证；
（2）设出两交点的坐标，利用两交点均在x=1的右侧，列出不等式组，求出K的取值范围即可．
点评：本题考查了二次函数与x轴的交点坐标的问题，同时还考查了一元二次方程根与系数的关系，是一道不很容易的综合题．