题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2x轴于点A,交y轴于点B,过点A的抛物线y=ax2+bx﹣2y轴交点C,与直线AB的另一个交点为D,点E是线段AD上一点,点F在抛物线上,EF∥y轴,设E的横坐标为m

(1)用含a的代数式表示b.

(2)当点D的横坐标为8时,求出a的值.

(3)在(2)的条件下,设△ABF的面积为S,求出S最大值,并求出此时m的值.

【答案】(1) b=1﹣2a;(2)a=﹣;(3)m=5时,△ABF的面积最大,最大值为

【解析】

(1)A(2,0)代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0,即可得b=1﹣2a;(2)先求得点D的坐标为(8,﹣6),代入y=ax2+bx﹣2中,结合(1)即可求得a的值;(3)如图,连接AF、BF,作FH⊥ABH.设E(m,﹣m+2),则F(m,﹣m+m﹣2),构建△ABF的面积为S与m的二次函数关系,利用二次函数的性质解答即可

(1)由题意A(2,0),B(0,2),

A(2,0)代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0,

∴b=1﹣2a.

(2)∵D的横坐标为8,

x=8时,y=﹣8+2=﹣6,

∴D(8,﹣6),

D(8,﹣6)代入y=ax2+bx﹣2得到:64a+8b﹣2=﹣6,

∴64a+8(1﹣2a)﹣2=﹣6,

∴a=﹣

(3)如图,连接AF、BF,作FH⊥ABH.设E(m,﹣m+2),则F(m,﹣m+m﹣2).

∵OA=OB=2,∠AOB=90°,

∴∠ABO=45°,AB=2

∵EF∥OB,

FEH=∠OBA=45°,

∴FH=EF,

∴SABF=×AB×FH=×2×(﹣m2+m﹣4)=﹣(m﹣5)2+

∵﹣<0,

∴m=5时,△ABF的面积最大,最大值为

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