Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，F是

AC

的中点，OF与AC相交于点E，AC=8cm，EF=2cm．
（1）求AO的长；
（2）求sinC的值．

Answer 1

分析：（1）由F是

AC

的中点，根据垂径定理的推论，得到OF⊥AC，AE=CE=4，在Rt△AEO中，利用勾股定理即可计算出OA；
（2）由CD⊥AB，利用同角的余角相等得到∠AOE=∠C，所以sinC=sin∠AOE，在Rt△AEO中，即可得到sin∠AOE的值．

解答：解：（1）∵F是

AC

的中点，
∴

AF

=

CF

，
又OF是半径，
∴OF⊥AC，
∴AE=CE，
∵AC=8cm，
∴AE=4cm，
在Rt△AEO中，AE²+EO²=AO²，
又∵EF=2cm，
∴4²+（AO-2）²=AO²，解得AO=5，
∴AO=5cm．

（2）∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠C=90°，（1分）
∴∠AOE=∠C，
∴sinC=sin∠AOE，
∵sin∠AOE=

AE

AO

=

4

5

，
∴sinC=

4

5

．

点评：本题考查了垂径定理以及推论；也考查了勾股定理和三角函数的定义．