Question

【题目】已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．

∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），

∴﹣ =﹣1， =1或9，

解得m=﹣2，n=0或8，

∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；

（2）解：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴得交点为顶点（﹣1，0），不合题意；

当y1=﹣x2+2x+8时，解﹣x2+2x+8=0得x=﹣4或2，

∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），

∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），

把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得 ，

解得 ；

∴y2= x+ ．

【解析】（1）根据题意求得顶点B得坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴得交点为顶点（﹣1，0），不合题意；当y1=﹣x2+2x+8时，解﹣x2+2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小，以及对确定一次函数的表达式的理解，了解确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．