题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC= ,BC=3,△DEF是边长为a(a为小于3的常数)的等边三角形,将△DEF沿AC方向平移,使点D在线段AC上,DE∥AB,设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T.
(1)求证:点E到AC的距离为一个常数;
(2)若AD= ,当a=2时,求T的值;
(3)若点D运动到AC的中点处,请用含a的代数式表示T.
【答案】
(1)
解:由题意得:tanA= =
=
,
∴∠A=60°.
∵DE∥AB,
∴∠CDE=∠A=60°.
如答图1所示,过点E作EH⊥AC于点H,
则EH=DEsin∠CDE=a =
a.
∴点E到AC的距离为一个常数
(2)
解:若AD= ,当a=2时,如答图2所示.
设AB与DF、EF分别交于点M、N.
∵△DEF为等边三角形,∴∠MDE=60°,
由(1)知∠CDE=60°,
∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°,
又∵∠A=60°,
∴△ADM为等边三角形,
∴DM=AD= .
过点M作MG∥AC,交DE于点G,则∠DMG=∠ADM=60°,
∴△DMG为等边三角形,
∴DG=MG=DM= .
∴GE=DE﹣DG=2﹣ =
.
∵∠MGD=∠E=60°,∴MG∥NE,
又∵DE∥AB,
∴四边形MGEN为平行四边形.
∴NE=MG= ,MN=GE=
.
∴T=DE+DM+MN+NE=2+ +
+
=
(3)
解:若点D运动到AC的中点处,分情况讨论如下:
①若0<a≤ ,△DEF在△ABC内部,如答图3所示:
∴T=3a;
②若 <a≤
,点E在△ABC内部,点F在△ABC外部,在如答图4所示:
设AB与DF、EF分别交于点M、N,过点M作MG∥AC交DE于点G.
与(2)同理,可知△ADM、△DMG均为等边三角形,四边形MGEN为平行四边形.
∴DM=DG=NE=AD= ,MN=GE=DE﹣DG=a﹣
,
∴T=DE+DM+MN+NE=a+ +(a﹣
)+
=2a+
;
③若 <a<3,点E、F均在△ABC外部,如答图5所示:
设AB与DF、EF分别交于点M、N,BC与DE、EF分别交于点P、Q.
在Rt△PCD中,CD= ,∠CDP=60°,∠DPC=30°,
∴PC=CDtan60°= ×
=
.
∵∠EPQ=∠DPC=30°,∠E=60°,∴∠PQE=90°.
由(1)知,点E到AC的距离为 a,∴PQ=
a﹣
.
∴QE=PQtan30°=( a﹣
)×
=
a﹣
,PE=2QE=a﹣
.
由②可知,四边形MDEN的周长为2a+ .
∴T=四边形MDEN的周长﹣PE﹣QE+PQ=(2a+ )﹣(a﹣
)﹣(
a﹣
)+(
a﹣
)=
a+
﹣
.
综上所述,若点D运动到AC的中点处,T的关系式为:
T=
【解析】(1)解直角三角形,求得点E到AC的距离等于 a,这是一个定值;(2)如答图2所示,作辅助线,将四边形MDEN分成一个等边三角形和一个平行四边形,求出其周长;(3)可能存在三种情形,需要分类讨论:①若0<a≤
,△DEF在△ABC内部,如答图3所示;②若
<a≤
,点E在△ABC内部,点F在△ABC外部,在如答图4所示;③若
<a<3,点E、F均在△ABC外部,如答图5所示.
